CIVILIZACION INDIA

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Aportes matemáticos:

* El único documento aC es el Sulva Sutra de Apastamba, anterior a la conquista de Alejandro Magno (356-323 aC) buena parte del mismo se ha logrado situar hacia el s. VII aC

El Sulva Sutra es una especie de manual del constructor que contiene reglas para erigir altares y variar sus dimensiones conservando su forma. Su autor demuestra conocer el teorema de Pitágoras obtenido seguramente de alguna manera empírica ya que no tiene demostración alguna, tampoco tienen demostraciones las propiedades que anuncia, a las que no acompaña ninguna figura, y cuando las hay no sirven de guía a un pensamiento mas o menos riguroso, sino solo para poner ante el lector la prueba visual de la legitimidad de la construcción.

*   Sistema posicional:

Tiene sus orígenes en la India, al principio los antiguos Indios escribían los números mediante los símbolos del uno al nueve, y después, con otro conjunto de símbolos para presentar las decenas, del diez al noventa. Los múltiplos de cien, del mil, etc., se construían representando las unidades multiplicadas por los símbolos para el cien, el mil… Esta notación se simplificó más tarde, produciendo para la historia la notación posicional, que no necesitaba más que los símbolos del cero al nueve. Hay controversia sobre la fecha exacta de la transformación, pero la mayoría de las evidencias dan como muy probables las cercanías del año 600. Sea como fuere en el 870 el sistema posicional estaba ya establecido en la India se introdujo en Occidente a través de sabios árabes y comerciantes asiáticos.

El sistema posicional se caracteriza por:

Una base decimal, una notación posicional y una forma cifrada para cada uno de los 10 numerales basicos

  

Numeración alfabética india (izquierda) – transformación de los números a través del tiempo (derecha)

*  Multiplicación en celdillas:

Para explicar el esquema en el que se basa, lo mejor es recurrir a un par de ejemplos.

En el primero de ellos el número 456 aparece multiplicado por 34; el multiplicando está escrito en la parte superior del retículo y el multiplicador a la izquierda, y los productos parciales ocupan las celdas cuadradas, de manera que al sumar los dígitos en diagonal de arriba a la izquierda abajo a la derecha se obtiene el producto 15.504 que aparece en la parte inferior y derecha del rectángulo.

En la figura 2 se da otro ejemplo para indicar que los datos se podían disponer también de otras maneras; aquí vemos el multiplicando 537 situado de nuevo en la parte superior y el multiplicador 24 en cambio a la derecha, mientras que el producto 12.888 se lee por la izquierda y la parte inferior del rectángulo.

* La división larga (método de la galera) :

Para ilustrar este método, supongamos la división de 44.977 por 382; en la figura 2.1 aparece hecha por el método moderno, y en la figura 2.2 por el método de la galera.

Este segundo se parece mucho al primero excepto en que el dividendo aparece en el medio, ya que las restas se hacen cancelando los dígitos y poniendo las diferencias encima de los minuendos y no debajo. Así pues, el resto final 283 aparece en la parte superior derecha y no en la parte inferior.

El proceso reproducido en la figura 2 es fácil de seguir si tenemos en cuenta que los dígitos de un substraendo dado, como el 2674, o de una diferencia dada, como la 2957, no figuran todos ellos necesariamente en la misma fila, y que los substraendos aparecen escritos por debajo de la línea central y las diferencias por encima; por otra parte, la posición en una columna es importante, pero no la posición en una fila.

* El cero es un vacío. Es la ausencia de número y su origen, es de origen Indio. En sánscrito el cero se dice sunya, que significa vacío o en blanco. A Occidente llegó con mucho retraso y de mano de los árabes, que lo tradujeron como sifr, de donde derivan los vocablos cifra y cero. En la India, la utilización del cero estaba tan difundida en las costumbres, que este aparece incluso en poemas y textos sagrados.

La concepción del cero es un logro de enorme importancia cultural. No es fácil llegar a él.

* Números negativos en la India: Los indios no concebían las matemáticas como geometría. Los matemáticos indios fueron los primeros en reconocer las raíces negativas y las dos raíces cuadradas de un número positivo. Además multiplicabas números positivos y negativos.

* Brahmagupta menciona dos valores de p, el <<valor práctico>> 3 y el <<valor exacto>> raíz de 10 , pero no menciona en cambio el valor más aproximado de Aryabhata, y en la trigonometría que incluye su obra más conocida, el Brahmasphuta Siddhanta adopta como radio del círculo el valor 3,270.

Brahmagupta calcula el <<área bruta>> de un triángulo isósceles multiplicando la mitad de la base por uno de los lados iguales; para el triángulo escaleno de base 14 y lados 13 y 15 calcula el <<área bruta>>. Multiplicando la mitad de la base por la media aritmética de los otros dos lados. En cambio, para hallar el área <<exacta>> utiliza la fórmula de Arquímedes-Herón.

El resultado más bello en la obra de Brahmagupta es su generalización de la fórmula de Herón para calcular el área de un cuadrilátero:   donde a, b, c y d son los lados del cuadrilátero y s el semiperímetro. Este resultado queda un tanto empañado pues sólo es válido para el caso de un cuadrilátero cíclico (insciptible).

La fórmula correcta para un cuadrilátero arbitrario es   , donde   es la semisuma de dos ángulos opuestos del cuadrilátero. También utiliza expresiones que permiten obtener las diagonales de un cuadrilátero inscriptible conocidos los lados, que hoy escribiríamos:

En su obra aparecen soluciones generales de ecuaciones cuadráticas incluyendo las dos raíces incluso en los casos en que una de ellas sea negativa; de hecho es la primera vez que aparece sistematizada la aritmética de los números negativos y del cero.

Teorema de Brahmagupta

Para el resultado sobre el área de un cuadrilátero cíclico, véase fórmula de Brahmagupta.

En geometría euclidiana, el teorema de Brahmagupta (llamado así en honor al matemático indio Brahmagupta) da una condición necesaria sobre laperpendicularidad de las diagonales de un cuadrilátero cíclico (inscriptible en un círculo).

Enunciado

Si las diagonales de un cuadrilátero cíclico son perpendiculares, entonces toda recta perpendicular a un lado cualquiera del cuadrilátero y que pase por la intersección de las diagonales, divide al lado opuesto en dos partes iguales.

(BD) ┴ (AC) y (EF) ┴  (BC) implica AF = FD

Construcción y demostración

Dado un cuadrilátero inscriptible ABCD cuyas diagonales son perpendiculares, se quiere demostrar que AF =FD. Para ello, se demostrará que AF y FD son ambos iguales a FM.

Los ángulos FAM y CBM son iguales (debido al teorema de los ángulos inscritos que intersecan al mismo arco de círculo). Además, los ángulos CBM y CME son ángulos complementarios al ángulo BCM. Finalmente, AFMes un triángulo isósceles, y por consecuencia, sus lados AF y FM son iguales.

De manera análoga se demuestra que FD = FM. Los ángulos FDM, BCM, BME y DMF son todos iguales, luegoDFM es un triángulo isósceles, de donde FD = FM. Se sigue que AF = FD, lo que demuestra el teorema.

  

* En esta obra él definió el cero como el resultado de restar un número de sí mismo. Él dio algunas propiedades:

1) Cuando el cero se suma a un número o se resta de un número, el número permanece inalterado.

2) Un número multiplicado por cero es cero.

Él también da reglas aritméticas en términos de fortunas (números positivos) y deudas (números negativos):

1) Una deuda menos el cero es una deuda.

2) Una fortuna menos el cero es una fortuna.

3) Una deuda restada del cero es una fortuna.

4) Una fortuna restada del cero es una deuda.

5) El producto de cero multiplicado por una deuda o fortuna es cero.

6) El producto o cociente de dos fortunas es una fortuna.

7) El producto o cociente de dos deudas es una fortuna.

8) El producto o cociente de una deuda y una fortuna es una deuda

9) El producto o cociente de una fortuna y una deuda es una deuda.

Bramahgupta intentó extender la aritmética para incluir la división por cero, entonces:

1) Cero dividido por cero es cero.

2) Cero dividido por negativo o los números positivos son o cero o se expresa como una fracción con cero como numerador y la cantidad finita como denominador. Realmente, Brahmagupta está diciendo que n dividido por cero es n/0. Él se equivoca cuando dice que cero dividido por cero es cero. Sin embargo es un esfuerzo inteligente de Brahmagupta por extender la aritmética.

*  Bhaskara se enfrentó a el problema de la división por cero. Afirmó que (a/0).0=a. la primera vez que nos encontramos con la afirmación  de que a/0=0 es en el vijaganita de bhaskara.

*  Los indios estudiaron con profundidad la trigonometría, sobre todo por su utilidad para hacer cálculos astronómicos, aunque también para aplicarla en ecuaciones indeterminadas, el algebra y la combinatoria. De hecho, el concepto y la palabra seno proviene de un tratado de astronomía del siglo V, el Paitamahasiddhanta. La otra consistió en la introducción de lo equivalente a la función seno en trigonometría, para reemplazar las tablas de cuerdas griegas; las tablas más antiguas de la relación seno que han llegado hasta nosotros son las que figuran en los Siddhantas y en el Aryabhatiya, donde se dan los senos de los ángulos menores o iguales que 90°para 24 intervalos angulares iguales de 3(3° 4/ ) cada uno. Para expresar la longitud del arco y la del seno en términos de la misma unidad, se tomaba como radio 3.438 unidades y la circunferencia correspondiente como 360 · 60 = 21.600 unidades; estos valores implican un valor de π que coincide con el de Ptolomeo hasta la cuarta cifra significativa, pero Aryabhata utiliza en otros contextos el valor 10 para π, valor que aparece tan frecuentemente en la India que se le conoce a veces como <<el valor hindú>> de π.

*   La relación entre la circunferencia y su diámetro:

“Sumar 4 a 100 multiplicar por 8, sumar todavía 62000 se obtiene así un valor aproximado (asanna) de la circunferencia de un circulo cuyo diámetro es de 2 miríadas”.

Este verso de Aryabhata (matemático y astrónomo indio) del siglo IV nos da la más antigua formulación sobre el valor aproximado de la relación que más adelante se denominara pi.

Un ióyana es una unidad de medida utilizada en la antigua India. Los estudiosos de la actualidad estiman que mediría 6,2 km aproximadamente. Existe una medida, el majá-ióyana, que mide 1000 ióyanas.