Matemática en la Antigua China (Parte 2)

• Método de la falsa posición

Las culturas antiguas eran conocedoras de un método de aproximación que permitía resolver lo que hoy conocemos como ecuaciones de primer grado.

- Simple falsa posición: aplicable a toda ecuación de primer grado de la forma: a  x  =  b  con a, b conocidos de manera que se considera un valor hipotético de la x cumpliendo: a.x’ = b’.

- Doble falsa posición: se aplicó a problemas que se resuelven con ecuaciones de primer grado pero con dos incógnitas.

• Método del fan fa

Creado por Chu Shih-Chieh. Es un método de cambio de variable para obtener soluciones aproximadas de ecuaciones polinómicas, cuyo fundamento debe haber aparecido en China mucho tiempo antes. Método que suele conocerse en Occidente como "Método de Horner", matemático que vivió medio milenio más tarde.

Ejemplos:

I. Para resolver x²+252x-5292=0, obtiene por tanteo un valor aproximado por defecto, x=19. Luego hace el cambio de variable (el fan fa) y=x-19 para obtener y²+290y-143=0. Esta ecuación tiene como solución aproximada y=143/(1+290)=143/291. Deshaciendo el cambio la solución aproximada es x=19+143/291.

II. En el caso de la ecuación x³-574=0, se obtiene por tanteo x=8 y se hace el cambio y=x-8. La nueva ecuación y³+24y²+192y-62=0 tiene como solución aproximada y=62/(1+24+192)=2/7. Por tanto la aproximación buscada es x=8+2/7.

• El número Pi

El uso del valor 3 para pi en la matemática china primitiva puede servir como argumento a favor de una hipotética dependencia de Mesopotamia, especialmente a la vista de que la búsqueda de valores cada vez más exactos fue más persistente en China que en ningún otro sitio, desde los primeros siglos de la era cristiana. En este proceso nos encontramos con los valores:

y en el siglo III aparece Liu Hui, importante comentarista de los nueve capítulos, que obtiene en valor 3,14 usando un polígono regular de 96 lados y la aproximación mucho mejor 3,14159 considerando un polígono de 3072 lados. En la refundición que hizo Liu Hui de los Nueve capítulos hay muchos problemas sobre el cálculo de medidas, incluyendo la determinación correcta del volumen de un tronco de pirámide de base cuadrada, para el tronco de cono circular se aplica una formula análoga, pero con el valor 3 para pi.

La fascinación que ejerció sobre los chinos el número pi alcanzo su punto más alto en la obra de Tsu Chu’ng-Chih (430-501). Llego incluso más lejos en sus cálculos, ya que dio también 3,1415927 como un "valor por exceso" y 3,1415925 como un "valor por defecto" para pi.

• El abaco

Los numerales a base de varillas no eran una simple notación sino que los administradores, por ejemplo, llevaban consigo una bolsa que contenía una colección de varillas de bambú, marfil o hierro, que utilizaban como instrumentos para hacer sus cálculos. Estas eran manejadas por los chinos con tanta habilidad se la describía como "volando con tal rapidez de un lado a otro que el ojo no podría seguir su movimiento". Los pasos consistentes en cancelaciones de cantidades iguales se podían llevar a cabo probablemente con mayor rapidez usando las varillas en una tabla de calcular que en los cálculos escritos y, de hecho, resulto tan eficaz el uso de las varillas y de las tablas de calcular, que el ábaco o marco de calcular rígido, con bolas movibles a lo largo de barras paralelas no se comenzó a utilizar tan tempranamente como se había supuesto de manera general. Las primeras descripciones claras que nos encontramos de sus formas modernas, conocidas en China con en nombre de Sua Phan, datan del siglo XVI. La palabra latina “abacus” probablemente se deriva de la palabra “abq” que significa polvo, lo cual nos indicaría que en China, este aparato evolucionó a partir de una bandeja llana de polvo o arena utilizada como tabla de calcular.

El ábaco árabe tenía 10 bolas en cada alambre y no tenía barra central, mientras que el chino tenía en cada alambre 5 bolas por debajo de la barra central y dos por encima, cada una de las bolas superiores en un mismo alambre del ábaco chino equivale a cinco de las inferiores, y para registrar un numero se hacen deslizar el número correspondiente de bolas hacia la barra central que las separa unas de otras.

• Cuadrados mágicos

Los chinos han sido siempre muy aficionados al diseño armónico, aritmético o geométrico, estos cuadraditos ayudaron al autor de los nueve capítulos a resolver el sistema de ecuaciones lineales. Estos cuadros y diferentes figuras consistían en que en todos sus lados diera el mismo número.

Es una tabla de grado primario donde se dispone de una serie de números enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales principales sea la misma (denominada "Constante mágica").

Usualmente los números empleados para rellenar las casillas son consecutivos, de 1 a n², siendo n el número de columnas y filas del cuadrado mágico.

Llamados así porque está formado por varios números, y que sumados por filas dan siempre el mismo resultado.

Los cuadrados mágicos eran conocidos en china 45 siglos antes del nacimiento de Mahoma, también eran usados como amuletos.

El cuadrado mágico más antiguo conocido como “Lo Shu” y según la leyenda fue hallado por el emperador de aquella época bajo el caparazón de una tortuga divina que paseaba por el río amarillo.

• Los nueve cápitulos del Arte Matemático (Chui-chang suan-shu)

Su origen se remonta al período de la Dinastía Zhou y fue compilado por varias generaciones de escribas entre los siglos II y I a.C. Es uno de los libros de matemáticas más antiguos de China, después de Suàn shù shū y Zhou Bi Suan Jing (compilados durante el período de la Dinastía Han y hasta el siglo II d.C.). El enfoque matemático está centrado en hallar los métodos más generales de resolución de problemas, en contraste con la idea común de los matemáticos antiguos griegos, que tendían a deducir proposiciones a partir de un conjunto inicial de axiomas.

El libro está dispuesto en forma tal que enuncia un problema primero, y después le sigue otro enunciado con la solución y una explicación del proceso que condujo a tal solución.

Esta gran obra tuvo una importante influencia en el desarrollo posterior de las matemáticas y formó su base. Está escrito en forma de preguntas y respuestas.

Obra que ejerció mayor influencia sobre los matemáticos chinos de entre todos los libros de matemática china. Este libro incluye 246 problemas sobre agrimensura, agricultura, compañía, ingeniería, impuestos, calculo, resolución de ecuaciones y propiedades de los triángulos rectángulos.
También hizo uso del principio de Cavalieri sobre volúmenes, más de un millar de años antes de que este lo propusiera en Occidente. Creó una demostración del teorema de Pitágoras, y la fórmula matemática para el método de reducción de Gauss. El trabajo fue comentado por Liu Hui en el siglo 3º d.C.

Trabajo anónimo, cuyos orígenes no están del todo claros.

• Otros títulos importantes

- Chou Pei Suan Ching: considerado generalmente como el más antiguo de los clásicos de contenido matemático. Trata de cálculos astronómicos, aunque incluye también una introducción a las propiedades del triángulo rectángulo, así como algunas propiedades sobre el uso de las fracciones. El libro está escrito en forma de dialogo entre un príncipe y su ministro sobre el calendario; el ministro explica a su soberano que el arte de los números deriva del circulo y del cuadrado, de los que el cuadrado pertenece a la Tierra y el circulo al Cielo. Nos revela que en China la geometría, tal como en Egipto, debió surgir de la agrimensura, y que, como pasaba en Babilonia, la geometría china se reducía a un ejercicio numérico de aritmética y álgebra. Parece haber en él algunas indicaciones relativas al teorema de Pitágoras, un teorema tratado, en todo caso, algebraicamente por los chinos.

- Zhoubi Suan-Jing: (Manual de relojes de Sol de Zhou) Es el texto más antiguo que se conserva en su totalidad, compilado entre los años 100 a.C. y 100 d.C. Es un texto de astronomía que muestra cómo medir las posiciones de los cuerpos celestes utilizando relojes de Sol llamados también “gnómones”, pero contiene importantes secciones de matemáticas. Proporciona una clara información sobre la naturaleza de las matemáticas chinas en este período.

Contiene una descripción de la regla de Gou-gu (la versión china del Teorema de Pitágoras) y la aplica a la vigilancia, astronomía, y otras materias.

- Suan shu shu: Texto centrado en la Aritmética que habla sobre sus conceptos básicos, fechado en los alrededores del año 180 a.C y escrito en tiras de bambú.

- Haidao Suan-jing: Texto escrito por Lui Hui (primera persona en presentar el concepto de número decimal en el mundo), que muestra como utilizar el teorema de Gou-gu para calcular la altura y la distancia de los objetos.

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