GEOMETRÍA EN EL ANTIGUO EGIPTO

Geometría alude a "medir la tierra".

Sobre el origen de la geometría tenemos básicamente dos fuentes, Heródoto y Aristóteles, que coinciden en situarlo en la civilización egipcia, aunque pensando posiblemente en unas raíces mucho más antiguas. Heródoto afirma que la geometría se originó en Egipto, fruto de la necesidad práctica de medir los límites de las parcelas de terreno periódicamente inundadas por las aguas del Nilo.

Los agrimensores y constructores de pirámides trazaban líneas perpendiculares sobre el terreno, utilizando una cuerda de doce nudos equidistantes. Con este método dibujaban en el suelo triángulos rectángulos de lados 3, 4 y 5.

Un sistema de medición de la tierra que supone el conocimiento de los fundamentos de la trigonometría o cálculo de triángulos.
Pero en el Antiguo Egipto la acción de «tender la cuerda» entre dos piquetes era una de las más importantes operaciones sagradas de la fundación de un templo: después de observar las estrellas circumpolares, después de medir el tiempo con la clepsidra a fin de fijar la orientación del templo, se tensaba la cuerda sobre el emplazamiento de los muros y se determinaban cuatro ángulos picando el rey sobre las estacas con un mazo de oro, mientras se recitaban los textos sagrados. 

Para los egipcios, éste era el triángulo sagrado, porque era el secreto de todas las medidas. Sus lados se relacionan entre sí con los números 3, 4, 5, que sumados dan 12, el circuito zodiacal o ciclo fundamental formado por tres veces cuatro

CÁLCULO DE SUPERFICIES 

Otro de los problemas más importantes a solventar estaba relacionado con el cálculo
de áreas, de hecho, dado que la sociedad era principalmente agrícola, tras
la subida anual del Nilo, había que volver a asignar a cada persona la misma superficie
de tierra que tenía antes de la inundación. Este hecho dio lugar a que se
tuviera que saber calcular el área de distintas superficies y, dependiendo del tipo,
encontramos diversos ejercicios planteados y resueltos.

• Superficies rectangulares.

Problema 49 del papiro de Rhind:
cálculo del área de un rectángulo de 1000 codos de largo por 10 de ancho (codo=unidad de longitud).
Área = 1000
x 100 = 100000 codos2

• ¿Cómo hallaban el área del triángulo?

   Aparentemente, se basaban en la representación de un triángulo inscrito en un rectángulo para llegar a la conclusión: área = altura × base/2,

Ejemplo del cálculo de un campo triangular. Si te dicen: Un triángulo de 10 varas  (varas de cuerda: 100  codos reales= 1KHA) de meryt (altura) y de 4 varas de base; ¿cuál es su superficie? Calcularás así:

Tomarás la mitad de 4, o sea 2, para hacerlo rectángulo. Multiplicarás 10 por 2. Es su superficie.

• ¿Cómo calculaban el área del trapecio?

'triángulo truncado', expresión con la que el antiguo escriba egipcio designaba al trapecio

 De nuevo, como en el caso del triángulo, es necesario plantearse cuál es la transformación realizada por el escriba para pasar de un trapecio al rectángulo de área equivalente. Una posibilidad consistiría en añadir al trapecio original uno igual pero invertido, de manera que la figura resultante fuera un romboide que tuviera la misma altura y como base la suma de las bases del trapecio Obviamente, su área sería el doble por lo que habría que dividirla entre dos

 la hipótesis más probable sobre el origen de la fórmula de cálculo del trapecio consistiría en tomar el rectángulo que tenga por dimensiones la altura del trapecio y su base menor (la truncada en terminología egipcia). Las partes restantes son triángulos que, tratados de la forma vista en un apartado anterior, resultarían equivalentes a rectángulos de la misma altura y base la mitad de la del triángulo correspondiente. Por un cálculo aritmético resultaría que la base general del rectángulo equivalente es la mitad de la suma de las dos bases del trapecio

El problema 52 del papiro Rhind presenta el caso de un 'triángulo truncado

Si te dicen ¿Cuál es el área de un triángulo truncado de tierra de 20 khet en su altura, 6 khet en su base, 4 khet en su línea truncada?. 

La forma de cálculo coincide plenamente con la actual:

• Añadir su base a su línea truncada, hace 10.
• Tomar la mitad de 10, es decir, 5 para (un lado de) su rectángulo.

Multiplicar 20 veces 5, hace 100. Este es el área             

PIRÁMIDES

Por último, en el caso de las pirámides, en distintos papiros se encuentran ejercicios en los que hay que calcular tanto la inclinación de las caras como el volumen total de la misma. Lo que lleva a afirmar que los egipcios sabían calcular el ángulo de inclinación de cada una de las paredes de la pirámide, el volumen de una pirámide truncada y el volumen de una pirámide.

Problema 14 del papiro de Moscú: calcular el volumen de una pirámide truncada de lados 2 y 4 y altura 6.

En general, la fórmula del volumen de una pirámide truncada de lados a y b y altura h era conocida en el Antiguo Egipto y se correspondía con la actual

Volumen = h(a2 + ab + b2)/3

Volumen = 6(22 + 2  4 + 42)/3 = 56

ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS EN LAS PIRÁMIDES EGIPCIAS

En las pirámides egipcias, todo parece indicar que fueron diseñadas sobre

la base de los Triángulos Sagrados egipcios, que son aquellos triángulos

rectángulos cuyos lados están en la relación 3-4-5, a los que se les

atribuían propiedades mágicas o estéticas y de hecho en los nombres de

algunas de estas pirámides aparece el trilítero nfr (símbolo F35, según la

clasificación de Gardiner), que significa hermoso o bello.

La preferencia por este ángulo de inclinación (poco más de 53º) la

podemos también observar en el papiro matemático de Rhind (RMP). Es el

único documento en el que se encuentran problemas referentes a la

inclinación de las caras de pirámides. En concreto, los problemas nº 56,

57, 58 y 59, hacen referencia a pirámides de caras lisas en los que se

pide calcular el “seked” (inclinación de las caras de la pirámide) a partir

de las dimensiones de la pirámide, o viceversa, sabiendo el “seked” y una

de sus dimensiones (por ejemplo, el lado), calcular la otra dimensión

(altura).

Respecto a la geometría de estas pirámides, veremos que el uso de los

triángulos 3-4-5 en su construcción reporta importantes ventajas. Una de

ellas es que para la resolución de estos triángulos rectángulos, no es

necesaria la aplicación del Teorema de Pitágoras, ya que en estos casos,

se puede realizar de una manera mucho más sencilla utilizando tan sólo

sumas o restas, sin necesidad de elevar números al cuadrado, ni resolver

complicadas raíces cuadradas.

Los ángulos interiores de este tipo de triángulos son 90 , 36º 52' 11" y

53º 07' 48". Lo cual quiere decir que cualquier triángulo que posea estos

ángulos, independientemente del tamaño que tenga, será un triángulo 3-

4-5 o Triángulo Sagrado.

Una de las aplicaciones de los Triángulos Sagrados es que podían

utilizarse para construir ángulos rectos, pues la unión de tres palos o

barras cuyas longitudes estén en la proporción 3-4-5, forman un triángulo

rectángulo. Esto también es posible con la ayuda de una cuerda dividida,

con nudos, en doce partes iguales, permitiendo construir un triángulo 3-

4-5.

Las pirámides diseñadas con Triángulos Sagrados contienen 4 triángulos

de este tipo en su estructura, siendo éstos los que se forman con cada

uno de las apotemas de las caras, la base y la altura de la pirámide y que

precisamente están orientados en la dirección de los 4 puntos cardinales.