El conjunto de Cantor, llamado por
ser aporte de Georg Cantor1 en 1883, es un
destacado subconjunto fractal del intervalo real [0, 1], que
admite dos definiciones equivalentes:
- la definición numérica: es el conjunto de todos los puntos del intervalo real [0,1] que admiten una expresión en base 3 que no utilice el dígito 1.
- la definición geométrica, de carácter recursivo, que elimina en cada paso el segmento abierto correspondiente al tercio central de cada intervalo.
Construcción geométrica
Se construye de modo recursivo dando los siguientes pasos:
El primer paso es tomar el intervalo [0, 1].
El segundo paso es quitarle su tercio interior, es decir el
intervalo abierto (1/3; 2/3).
El tercero es quitar a los dos segmentos restantes sus
respectivos tercios interiores, es decir los intervalos abiertos (1/9; 2/9) y
(7/9; 8/9).
Los pasos siguientes son idénticos: quitar el tercio de
todos los intervalos que quedan. El proceso no tiene fin.
Julia fue un
precursor en lo que hoy se conoce como fractales.
Fue el primero en estudiar el tema y en explicar cómo a partir de cualquier
función compleja se puede fabricar, por medio de una sucesión definida por inducción, un conjunto cuya frontera es
imposible de dibujar a pulso por ser de longitud infinita, entre otras
propiedades.
Gaston Julia en su vida privada, pues tuvo que interrumpir
sus prometedores estudios a los 20 años a causa de la Primera Guerra Mundial, donde perdió su
nariz. Numerosas operaciones de cirugía no pudieron recomponerla y tuvo que
llevar una pequeña máscara el resto de su vida.
Los conjuntos de Julia, así llamados por el matemático
Gaston Julia, son una familia de conjuntos fractales que se obtienen al
estudiar el comportamiento de los números complejos al ser iterados por una
función holomorfa.( son funciones que se definen sobre un subconjunto abierto
del plano complejo C y con valores en C, que además son complejo-diferenciables
en cada punto)El conjunto de Julia de una función holomorfa f está constituido por aquellos puntos que bajo la
iteración de f tienen un comportamiento
'caótico'. El conjunto se denota J (f)
El copo de nieve de Koch, también llamado estrella
de Koch, es una curva cerrada continua pero no diferenciable en ningún
punto descrita por el matemático sueco Helge von Koch en 1904 en un artículo titulado
"Acerca de una curva continua que no posee tangentes y obtenida por los
métodos de la geometría elemental
En lenguaje actual, diríamos que es una curva fractal. Su
construcción más simple se realiza mediante un proceso iterativo que se inicia
partiendo en tres un segmento de recta e insertando dos más en el tercero medio
a manera de un triángulo equilátero, el proceso se repite infinidad de veces
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Veamos el proceso que lleva a sustituir cada lado
por la llamada curva de Koch: Se toma un segmento, se lo divide en
tres partes iguales, se remplaza la parte central por dos partes de igual
longitud haciendo un ángulo de 60 grados. Luego, con los cuatro segmentos, se
procede de la misma manera, lo que da lugar a 16 segmentos más pequeños en la
segunda iteración. Y así sucesivamente. La figura representa las seis
primeras etapas de la construcción. La última curva es una buena aproximación
de la curva final.
Construcción de la curva de Koch
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Tres conocidos fractales llevan su nombre: el triángulo de Sierpinski, la alfombra de Sierpinski y la curva de Sierpinski. También los números de Sierpinski en teoría de números
han sido nombrados así en su honor.
Cuando empezó la Primera Guerra Mundial, en 1914,
Sierpiński y su familia se encontraban en Rusia. Con el objetivo de
evitar la muy frecuente persecución de extranjeros polacos en Rusia, Sierpiński
estuvo trabajando en Moscú con Nikolái Luzin hasta que
terminó la guerra. Juntos, empezaron el estudio de los conjuntos analíticos. En
1916, Sierpiński dio el primer ejemplo de número normal.Cuando terminó la guerra en 1918, Sierpiński regresó a Lwów. Sin embargo, poco después de su designación, la Universidad de Varsovia le ofreció un puesto, que aceptó. Permaneció en Varsovia el resto de su vida.
Durante la Guerra Polaco-Soviética (1919-1921), Sierpiński contribuyó a descifrar códigos criptográficos rusos en la agencia criptográfica polaca.
Mandelbrot en 1967 publicó en Science «¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?», donde se exponen sus ideas tempranas sobre los fractales.
El conjunto de Mandelbrot es un conjunto matemático de puntos en el plano complejo, cuyo borde forma un fractal.
La dimensión de Hausdorff o dimensión de Hausdorff-Besicovitch es una generalización métrica del concepto de dimensión de un espacio topológico, que permite definir una dimensión fraccionaria (no-entera) para un objeto fractal.
