Geometría Proyectiva

¿Qué es la Geometría Proyectiva?

Es una rama de la Geometría que estudia los objetos lineales (puntos, rectas, planos, etc.) y cómo se intersectan.

Esta parte de dos principios:

ü  Dos puntos definen una recta.

ü  Todo par de retas se cortan en un punto (cuando son dos rectas paralelas, se dice que se cortan en un punto del infinito, un punto llamado impropio).

Realizando un recorrido histórico sabemos que la geometría tuvo sus ideas en los matemáticos griegos, pero los orígenes de la Geometría Proyectiva se da en las pinturas del Renacimiento.

Fueron los pintores renacentistas los que le dan fundamento a esta rama. Estos pintores eran arquitectos, ingenieros y os mejores matemáticos del siglo XV; como Leonardo Da Vinci, Rafael Sanzio, Alberto Durero, entre otros.

Ellos lograron plasmar en lienzos planos los objetos y las figuras tridimensionales.

La esencia de la representación tridimensional se basaba en el principio de proyección y sección. Lo que se ve de la escena depende de la posición del observador.

Imaginaron que a tela era una pantalla de cristal interpuesta entre la escena y el ojo. Para ello dedujeron Teoremas que forman parte de la Geometría Euclidea.

En el siglo XVII, se rescatan los conocimientos griegos y su aplicación de la mano de Gerard Desargues (1591-1661) quien en 1639 realizo la publicación de “Brouillon Projet” que tenía conceptos e ideas que hoy forman parte de la Geometría Proyectiva.

Los trabajos de Desargues no fueron apreciados hasta que un alumno  sr, Bosse público en 1648 “El método universal de Desargues para la práctica de la perspectiva”. En dicho libro, en su apéndice escribió alunas conclusiones y el Teorema que lleva su nombre.

Este se conoce como el Teorema de Deargues y dice:

“Si dos triángulos están en perspectiva desde un punto, y sus pares de lados correspondientes se cortan, entonces los tres puntos de intersección están alineados”

Destacamos que durante los siglos XVII y XVIII la geometría proyectiva  fue dejada de lado, y eso se debió a que la geometría analítica demostró ser más útil en otras ramas de las ciencias.

Pero resurge en el siglo XIX de la mano del francés Gaspard Monje (1743-1818) quien invento la Geometría Descriptiva. Este de rodeo de brillantes alumnos en la Ëcole de Polytechnique, como Carnot, Poncelet, Servois, entre otros.

Su meta fue intentar evidenciar que los métodos puramente geométricos podían lograr igual o más que los meramente algebraicos o analíticos.

Concluyendo, la Geometría Proyectiva es retomada de la Mano de Jean Víctor Poncelet (1788-1867), quien dada su estadía en una cárcel rusa reconstruyo todo lo aprendido de Carnot y Monge.

Su gran aporte fue “El Principio de Dualidad”, que consiste en que a partir de cualquier Teorema o construcción de Geometría Proyectiva podemos obtener otro, llamado Teorema Dual.

Para que sea más claro veamos lo siguiente:

     I.        En Geometría Proyectiva como en la Geometría Euclideana: “dos puntos cualesquiera determinan una recta”

    II.        Pero es verdad que en la geometría Proyectiva “dos rectas cualesquiera determinan un punto”

Vemos que de la 1era se obtiene 2da cambiando simplemente las palabras punto y recta.