Cálculo y teoría de números.-Napier y Brigss

JOHN NAPIER

Nació en 1550 en  Marchiston Castle, Edimburgo (Escocia) en el seno de una rica e importante familia.

Con tan sólo 13 años de edad ingresó a las universidades de Saint-Andrews y luego a la de París. También vivió en Italia y Holanda.

De regreso a Escocia, en 1581, dedicó su vida al estudio, la administración de su patrimonio y a desempeñarse en  diversos cargos públicos, entre ellos, participar en delegaciones protestantes enviadas por el rey en busca de apoyo en la lucha contra los católicos.  Napier también tomó partido en las controversias religiosas de su tiempo y fue un ferviente protestante, publicando lo que él consideraba su obra más importante: Plaine Discovery of de Whole Revelation of St. Jhon en la que prevenía  del peligro que suponían los papistas y que fue traducido a otros idiomas.

Los estudios de matemáticas  fueron solo un hobby para Napier (¿por qué en España los ricos y nobles no han tenido nunca estos hobbys?)  y a menudo se quejaba de no disponer de tiempo para ellos. Sin embargo, es hoy muy conocido por ser el inventor de los logaritmos pero también hizo otras importantes contribuciones como sus fórmulas para la resolución de triángulos esféricos, dos fórmulas conocidas como las analogías de Napier y una invención llamada "los  huesos de Napier" usado para el cálculo de multiplicaciones, divisiones, raíces cuadradas y cúbicas. También encontró expresiones exponenciales para funciones trigonométricas e introdujo la notación decimal para las fracciones. Sus tablas de logaritmos fueron publicadas en la obra titulada Mirifici logarithmorum canonis descriptio en el año de 1614, inicialmente escrito en latín pero enseguida traducido por Edward Wright. Según nuestra notación de hoy, los logaritmos de Napier serían los logaritmos de base 1/e. El mayor inconveniente de los logaritmos de Napier fue que el log1 no era cero. El cambio a los logaritmos con la propiedad log1=0 surgió de las discusiones entre Briggs y Napier en la casa de este último. Briggs en una carta enviada antes de su encuentro también le había sugerido que las tablas de logaritmos deberían ser en base  diez y le comunicaba que había empezado a construir esa nueva tabla.

Sería sorprendente que un hombre de tan grandioso intelecto como Napier no les pareciese extraño a sus contemporáneos y, que habiendo vivido en una época  tan supersticiosa no circularan historias raras sobre   sus supuestos poderes mágicos. Dicha fama fue aprovechada por Napier en la siguiente anécdota que muestra su ingenio. Un día, en su casa se cometió un robo. Según los indicios no podía ser más que uno de sus criados. En secreto, Napier rascó hollín de la chimenea. Encerró a un  gallo, según dijo mágico, en una habitación oscura tras haberlo untado con el hollín. Reunidos los criados, les dijo que tendrían que entrar en la habitación uno después del otro y acariciar al gallo. Cuando el ladrón tocase al ave , ésta se pondría a cantar. El gallo no cantó ni una sola vez, pero al mirarles las manos todos las tenían negras salvo uno ¡ése era el ladrón!.

APORTES:

·      Los huesos de napier:

Seria a comienzos del siglo XVII cuando el matemático escocés John Napierinventase este dispositivo, que constaba de una serie de barritas de madera que contenían las tablas de multiplicar, de esta manera evitaba la memorización de las mismas y era de gran ayuda en la realización de operaciones de multiplicación y división con un numero elevado de cifras.

El ábaco de Napier es un ábaco inventado por John Napier quien publicó la descripción del mismo en una obra impresa en Edimburgo a finales de 1617 titulada Rhabdologia. Por este método, los productos se reducen a operaciones de suma y los cocientes a restas; al igual que con las tablas de logaritmos, inventadas por él mismo se transforman las potencias en productos y las raíces en divisiones.

El ábaco consta de un tablero con reborde en el que se colocarán las varillas neperianas para realizar las operaciones de multiplicación o división. El tablero tiene su reborde izquierdo dividido en 9 casillas en las que se escriben los números 1 a 9.

Las varillas neperianas son tiras de madera, metal o cartón grueso. La cara anterior está dividida en 9 cuadrados, salvo el superior, divididos en dos mitades por un trazo diagonal.

En la primera casilla de cada varilla se escribe el número, rellenando las siguientes con el duplo, triplo, cuádruplo y así sucesivamente hasta el nónuplo del número al que corresponda la varilla.

Los dígitos resultados del producto se escriben uno a cada lado de la diagonal y en aquellos casos en los que sea inferior a 10, se escriben en la casilla inferior, escribiendo en la superior un cero.

Un juego consta de 9 varillas correspondientes a los dígitos 1 a 9. En la figura se ha representado además la varilla 0, que realmente no es necesaria para los cálculos.

Multiplicación[editar · editar código]

Provistos del conjunto descrito, supongamos que deseamos calcular el producto del número 46785399 por 7.

En el tablero colocaremos las varillas correspondientes al número, tal como muestra la figura, haciendo posteriormente la lectura del resultado en la faja horizontal correspondiente al 7 del casillero del tablero, operación que sólo requiere sencillas sumas, naturalmente con acarreo de los dígitos situados en diagonal.

Napier-example-1.png

Comenzando por la derecha obtendremos las unidades (3), las decenas (6+3=9), las centenas (6+1=7), etc.

Si algún dígito del número que deseamos multiplicar fuera cero, bastaría dejar un hueco entre las varillas.

Supongamos que queremos multiplicar el número anterior por 96.431; operando análogamente al caso anterior obtendremos rápidamente los productos parciales del número por 9, 6, 4, 3 y 1, colocándolos correctamente y sumando, obtendremos el resultado total.

Napier example 2.png

División[editar · editar código]

Igualmente podrían realizarse divisiones una vez conocidos los 9 productos parciales del dividendo; determinados éstos mediante el ábaco, basta seleccionar el inmediatamente inferior al resto sin necesidad de realizar los molestos tanteos que requieren las divisiones realizadas a mano.

Durante el siglo XIX, el ábaco neperiano sufrió una transformación para facilitar la lectura. Las varillas comenzaron a fabricarse con una inclinación del orden de 65º, de modo que los triángulos que debían sumarse quedaran alineados verticalmente. En este caso, en cada casilla de la varilla se consigna la unidad a la derecha y la decena (o el cero) a la izquierda.

Las varillas estaban fabricadas de modo tal que el grabado vertical y horizontal era más visible que las juntas entre las varillas, facilitándose mucho la lectura al quedar el par de componentes de cada dígito del resultado en un rectángulo.

·    Inventó los logaritmos (encaminados sobre todo a aliviar el difícil trabajo de los cálculos astronómicos), que dio a conocer en 1614 con el tratado Mirifici logarithmorum canonis descriptio, fruto de un estudio de veinte años. La obra aportó una contribución notabilísima a la simplificación de todos los cálculos; la invención de los logaritmos tiene una importancia que puede ser comparada con la invención de la trigonometría y tal vez superior. Con los "números artificiales" que introdujo en la ciencia, llamándolos "logaritmos" según el neologismo introducido también por él, Napier redujo todas las operaciones a la suma y a la sustracción. Ya Arquímedes, en la Arenaria, había enunciado una proposición que hoy puede ser expresada diciendo que el producto de dos potencias que tienen por base diez es igual a diez elevado a una potencia que es la suma de los exponentes de dos factores con base diez. Según parece, Napier quiso extender a exponentes no enteros y positivos aquella proposición de Arquímedes. Para ello Napier tenía que admitir que cualquier número puede ser considerado como una potencia de diez con tal de que su exponente sea escogido de conveniente manera. El hipotético exponente que hay que asignar al número para tener un número cualquiera es lo que se llama logaritmo del número.

·         Las aportaciones de Napier fueron acogidas con entusiasmo por Edward Wright, matemático y cartógrafo, y por Henry Briggs, profesor entonces en Londres y más tarde en Oxford; ambos, habiendo visitado a Napier en 1615, le propusieron la creación de los logaritmos de base 10, y el mismo Napier los calculó para los primeros mil números, publicándolos en 1617.

·          Se recuerda también a Napier en la historia de la trigonometría por haber encontrado importantes relaciones entre los elementos de los triángulos planos (teorema de Napier) y entre los de los triángulos esféricos (analogías de Napier).

·         El teorema fundamental de la teoría de Napier debía tender a demostrar que a todo número corresponde un logaritmo; sin embargo, el matemático escocés no sólo no lo demostró, sino que ni siquiera enunció ese "teorema de existencia". Llegó por otros caminos a sus propias conclusiones basándose en la comparación entre dos progresiones, geométrica una y aritmética otra, estableciendo el teorema fundamental de la propia teoría y demostrando que si cuatro números forman una proporción geométrica, sus logaritmos constituyen una progresión aritmética.

Henry Briggs  (1560-1630).

Matemático inglés nacido el 8 de febrero de 1561 en Warleywood (Yorkshire) y fallecido el 26 de enero de 1630 en Oxford, cuyo principal logro fue estimular la popularización de los logaritmos recientemente creados por Napier.

Terminó sus primeros estudios en una escuela de gramática cercana a Warleywood, e ingresó en el St John's College de la Universidad de Cambridge en 1577. Después de diecinueve años como profesor de geometría en el Gresham College de Londres abandonó este puesto para ocupar la cátedra de geometría recién creada en Oxford por Saville, quien le había ofrecido el puesto. Briggs ocupó esta cátedra hasta su muerte.

Intervino activamente en la popularización de los logaritmos creados por su colega Napier y en la utilización de los logaritmos en base 10 (logaritmos vulgares). Además publicó en Arithmetica logarithmica (1627) las primeras tablas de logaritmos, que iban del número 1 hasta el 20.000 y del 90.000 hasta el 100.000 con 14 cifras decimales. También calculó diversas tablas trigonométricas.

Otras de sus obras son Logarithmorum Chilias Prima (1617), Lucubrationes et annotationes in opera posthuma J. Napier (1619) y Trigonometria Britannica (1633), que contiene todas sus tablas y que se convirtió en un texto de referencia durante cerca de dos siglos.

 Fue un matemático inglés notable por el cambio de logaritmos de Napier en los logaritmos de Briggs, populares por sus ventajas.

Nació en Warley Wood, West Yorkshire, en Yorkshire, Inglaterra. Después de estudiarlatín y griego en la Escuela Local de Gramática, entró en St John's College, Cambridgeen 1577,y se graduó en 1581. En 1588, fue electo miembro del St. John's. En 1592 fue nombrado lector de la conferencia física fundadada por Thomas Linacre; quien también leería algunas de las conferencias de matemáticas. Durante este periodo, Briggs se interesó en la navegación y en la astronomía, colaborando con Edward Wright. En 1596, se convirtió en el primer profesor de geometríaen la recientemente fundada Gresham College, Londres; el daría clases ahí por cerca de 23 años, e hizo que la Gresham College, se convirtiera en un centro de las matemáticas inglesas, de ahí que apoyara las nuevas ideas de Johannes Kepler. Briggs era amigo deChristopher Heydon, el escritor en astrología. En ese momento, Briggs obtuvo una copia de Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, que encendió su imaginación, en sus conferencias en la Gresham College, se propuso la alteración de la escala de los logaritmoshiperbólicos 1/e, de la forma que John Napier les había dado en su tracto, en la que la unidad es asumida como el logaritmo de la proporción de diez a uno. Poco después escribió al inventor en la materia. Briggs era muy activo en varias áreas y su asesoramiento en la astronomía, la geodesia, la navegación y otras actividades como la minería, era frecuentemente solicitada. En 1619, Briggs invirtió en la Compañía de Londres, y tuvo dos hijos: Henry, quien más tarde emigraría a Virginia; y Thomas, quien permaneció en Inglaterra.¹ El cráter lunar Briggs fue nombrado en su honor.

Contribución matemática

En 1616, Briggs visitó a Napier en Edimburgo, con el motivo de discutir la sugerencia de cambiar los logaritmos de Napier. El año siguiente, repitió su visita para un fin similar. Durante estas conferencias la alteración propuesta por Briggs fue aceptada; y en su regreso de su segunda visita a Edimburgo, en 1617, publicó la primera Chiliad de sus logaritmos. En 1619, Briggs fue nombradoProfesor Saviliano de geometría en Oxford, y renunció a su cátedra de la Gresham College en julio de 1620. Pronto, después de su asentamiento en Oxford fue incorporado maestro de las artes.

En 1622 publicó un pequeño tracto en el Paso del Noroeste a los mares del sur, a través del Continente de Virginia y la Bahía de Hudson; y en 1624 su Aritmética Logarítmica en folio, un trabajo que contenía los logartimos de treinta mil números naturales a catorce decimales (1-20 000 y 90 000 a 100 000). También, Briggs completó la tabla de funciones trigonométricas y tangentes para la centésima parte de cada grado a catorce decimales, con una tabla de funciones naturales a quince lugares y las tangentes y secantespara los mismos diez lugares; todos los cuales fueron impresos en Gouda en 1631 y publicados en 1633 bajo el título de Trigonometria Britannica. Este trabajo fue problablemente el sucesor de su Logarithmorum Chilias Prima (Introducción a Logaritmos), que dio una breve reseña de logaritmos y una larga mesa de los primeros 1 000 enteros calculados al catorce decimal. Briggs descubrió en una forma un tanto oculta y sin la prueba, el teorema del binomio.

Briggs fue enterrado en la Capilla de Merton College, Oxford. El Doctor Smith, en su Vidas de los Profesores de Gresham lo caracteriza como un hombre de gran probidad y contento con su propia estación, prefiriendo una jubilación de estudios a todas las circunstancias de la vida espléndida.