TEORÍA
DE GRUPOS
En álgebra abstracta, la teoría de grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos. Sus objetivos son, entre otros, la clasificación de los grupos, sus propiedades y sus aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas.
Los grupos sirven como
pilar a otras estructuras algebraicas más elaboradas como los anillos (estructura algebraica formada por un
conjunto (A), y dos operaciones, llamadas usualmente suma y producto: (A,+,*);
de modo que (A,+) es un grupo conmutativo con elemento neutro (que designamos
0), y el producto * es asociativo y tiene la propiedad distributiva respecto de
la suma. Si el producto es conmutativo hablaremos de un anillo conmutativo y si
el anillo posee un elemento neutro para el producto, lo llamaremos anillo con
unidad (a la que designaremos 1)), los cuerpos (estructura algebraica en la cual las operaciones llamadas adición y
multiplicación se pueden realizar y cumplen las propiedades: asociativa,
conmutativa y distributiva de la multiplicación respecto de la adición 1 ,
además de la existencia de inverso aditivo, de inverso multiplicativo y de un
elemento neutro para la adición y otro para la multiplicación, los cuales
permiten efectuar las operaciones de sustracción y división (excepto la
división por cero); estas propiedades ya son familiares de la aritmética de
números ordinarios). o los espacios vectoriales (estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una
operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y
una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho
conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades
fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y
a los elementos del cuerpo, escalares). La teoría de grupos tiene muchas
aplicaciones en el campo de la física y la química, y es potencialmente
aplicable en situaciones caracterizadas por la simetría (un objeto es
simétrico en lo que concierne a una operación matemática dada si el resultado
de aplicar esa operación o transformación al objeto, el resultado es un objeto
indistinguible en su aspecto del objeto original. Dos objetos son simétricos
uno al otro en lo que concierne a un grupo dado de operaciones si uno es obtenido
de otro por algunas operaciones (y viceversa). En la geometría 2D las clases
principales de simetría de interés son las que conciernen a las Las simetrías (es decir, las
rotaciones y las reflexiones) de un cuadrado forman un grupo llamado diédrico,
y se expresa como D4. Un cuadrado tiene ocho simetrías.
ARTHUR CAYLEY
Y JAMES
JOSEPH SYLVESTER
Arthur Cayley nació el 16 de agosto de 1821 en
Richmond, comenzó su carrera universitaria, teniendo 17 años, Su primera obra,
publicada en 1841, cuando tenía 20 años, surgió de su estudio de Lagrange y
Laplace. Sin otro quehacer que lo que deseaba realizar, Cayley publicó, después
de obtener su título, ocho trabajos el primer año, cuatro el segundo y tres el
tercero. Estos primeros trabajos fueron hechos cuando aun no tenía 25 años, y
en el último se planea gran parte de la obra que iba a ocuparle durante los
siguientes 50 años. Ya había comenzado el estudio de la Geometría de n
dimensiones (que él creó), la teoría de
invariantes, la Geometría enumerativa de curvas planas y su contribución esencial
a la teoría de funciones elípticas.
Cayley ingresó en la abogacía en 1849. Tenía 28 años,
profesión que ejerció durante 14 años
Es uno de los fundadores de la escuela británica
moderna de matemáticas puras.
Además de su predilección por las matemáticas, también
era un ávido lector de novelas, le gustaba pintar, apasionado de la botánica y
de la naturaleza en general, y aficionado al alpinismo.
Fue el primero que introdujo la multiplicación de las
matrices. Es el autor del teorema de Cayley-Hamilton que dice que cualquier
matriz cuadrada es solución de su polinomio característico. Dio la primera
definición moderna de la noción de grupo.
Recibió la Royal Medal en 1859 y la Medalla Copley en
1882.
En combinatoria, su nombre está unido a la fórmula
n^{n-2} que cuenta los posibles árboles generadores con nodos etiquetados de
orden n.
En combinatoria, su nombre está unido a la fórmula
n^{n-2} que cuenta los posibles árboles generadores con nodos etiquetados de
orden n.
Se llama a veces octavas de Cayley o números de Cayley
a los octoniones.
Es el tercer matemático más prolífico de la historia,
sobrepasado tan solo por Euler y Cauchy, con aportaciones a amplias áreas de la
matemática. Cayley es autor de una colección de artículos suyos llamado
"Collected Mathematical Papers of Cayley", que contiene 966 artículos
en trece grandes volúmenes
James Joseph Sylvester nació en Londres el 3 de
septiembre de 1814. En 1831, teniendo 17 años, Sylvester ingresó en el St. John
College de Cambridge. Por no ser cristiano, Sylvester no pudo aspirar a los
premios Smith.
En 1846, a la edad de 32 años, ingresó en el Temple para
preparar su carrera de leyes, y en 1850 ingresó en la abogacía. Así llegaron a
encontrarse él y Cayley.
hizo importantes contribuciones en el campo de las
matrices (acuñó los términos matriz,1 invariante, discriminante y totient,2
entre otros), teoría de las invariantes algebraicas (en colaboración con su
colega A. Cayley), determinantes, teoría de números, particiones y
combinatoria. Utilizando determinantes descubrió el método dialítico para
eliminar una incógnita entre dos ecuaciones polinomiales3 ) y creó un
importante vocabulario matemático. Fue además fundador del American Journal of
Mathematics
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